🐗 延岡市雑談

　　　
　　　　これは難しい問題です。なぜなら、実数論では

　　　　lima(n)=α　　　　limb(n）=β　　　に収束するならば　　　　　a(n)b(n)は　　αβ　に収束するということが

　　　　a(n) b(n) c(n) d(n)・・・・　　と無限個あるときには通用しないからですね

　　　　だから、この式を展開して

　　　（１）＾（１／ｎ）（２）＾（１／ｎ）（３）＾（１／ｎ）（４）＾（１／ｎ）・・・・・・（ｎ）＾（１／ｎ）

　　　　　の各項が１に収束するから、全体が１に収束するというのがたぶん間違い
　　　　　　　

　　　　この数式の場合に展開したもの　　すなわち

　　　　（１）＾（１／ｎ）（２）＾（１／ｎ）（３）＾（１／ｎ）（４）＾（１／ｎ）・・・・・・（ｎ）＾（１／ｎ）　　で、これをｎ→∞としたものは、

　　　　＝　　Π（ｋ＝１～∞）　（ｋ）＾（１/k）

　　　となり、一般に、無限積と呼ばれるものであり、その収束値には、　　実数論の極限論が通用せず、判然としない

　　そこで

　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ｎ！）＾（１/ｎ）　　＜　　（（ｎ＋１）！）＾（１/ｎ＋１）

　　　つまり、この関数が単調増加関数であるかどうかを調べます。

　　　　この式が成立すると仮定して式変形をすると

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｎ！　　＜　　（ｎ＋１）＾ｎ　　　　★

　　　　と変形できるが、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　n！　　＜　　n^n

　　が明らかに成立するのだから★の式が成立する。したがって、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ｎ！）＾（１/ｎ）　　　　は、離散的に単調増加関数である。

みんなお前のこと嫌いだから関わりあいたくない件

　　　　このように、式が　　単調に増加することから　　　この式は　　∞に発散するようにみえるし、これで証明は

　　　十分なようにみえるが、もう少し　　　厳密な証明を与えたい

　　　ちょっと　　美しすぎる発想とはなるが　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ｎ－ｋ）（ｋ＋１）

　　　を、ｋ＝０から　　ｎ－１　　まで動かすことを考える。

　　　　　ｎ　　（ｎ－１）＊２　　（ｎ－２）＊３　　　　　・・・・・　　　　ｎ

　　となって元に戻る。　　　これらを全て掛け合わせたものが、　　（ｎ！）＾２　　という式になるということが都合がいいので

　　これを利用しよう。つまり

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Π（ｎ－ｋ）（ｋ＋１）　＝　（ｎ！）＾２

　　　　　　　　を用いる。

みんなお前の事嫌いだから関わりあいたくないっちゃね

　　　　他方で

　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ｎ－ｋ）（ｋ＋１）　　　≧　　ｎ　　　　　　　　★

　　　がいえる。これは式変形すると

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｎ　≧　ｋ＋１

　　になるが、　　　ｋは０からｎ－１まで動くので、これが成り立つことが明らかである。

　　　　　　　★に関して、　　両辺の無限積をとることにする、つまり

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Π　（ｎ－ｋ）（ｋ＋１）　　　≧　　Πｎ　　　　ｋは　　０　～　ｎ－１

　　　　　　左辺は　　さっきいったように　　（ｎ！）＾２　　になって、右辺は、　　ｎをｎ回掛けるだけだから


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ｎ！）＾２　　≧　　ｎ＾ｎ

　　　が成り立つ。　　この両辺の　　２ｎ分の√をとることで、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ｎ！）＾（１／ｎ）　　≧　　√ｎ

　　　　がいえる。　　　高校数学で習う　　　追い出しの原理より

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　√ｎ　　→　　　∞

　　　　であることから、左辺が追い出されて

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ｎ！）＾（１／ｎ）　　　→　　　∞

　　　である。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　よって求める極限値は　　　　　∞　　　である。
　　　　

>>0
高校生ですらバイトして金稼いでるのにお前ときたら

　　>>5


　　上に有界な単調増加数列は収束する

　　　　　　　　　　　　　すげー　　　ｎ！を　　　ｎ乗根で押さえてもやはり発散するのか

めんご。n が 何のことなのかが、わからん。スマソ。

サイン、コサイン、ポリデント

　　１／ｎ　　　　　　　　＜　　　　　１に収束しろクソが


　　　　ｎ！　　　　　　　＜　　　　　誰が収束するかクソが　　俺は発散する


　　　　　　うおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおお


　　　　で、　　ｎ！　　が勝ったという定理


　　　1/n　　　よりも　　ｎ！　　が勝つということの証明には時間がかかった

　　　一般には

　　　ｎ！　　≦　　ｎ＾ｎ

　　だから


　　　（ｎ！）＾２　　≧　　ｎ＾ｎ

　　　　が成り立つというのは興味深いことである

オレには良くわからんが素晴らしい

答えは3ってことだな

　　　　特に証明の論理構成　　自体に　　誤りはないが

　　ｎ　≧　ｋ＋１

　　になるが、　　　ｋは０からｎ－１まで動くので、これが成り立つことが明らかである。

　　　　　とあるところは

　　ｎ－１　≧　ｋ

　　になるが、　　　ｋは０からｎ－１まで動くので、これが成り立つことが明らかである。


　　　　　と修正した方が明瞭である。


　　　　他の点については問題なく、　　あいまいなところがなく、題意の数式が∞に発散することを厳密に証明できているといえる

>>18
天才！

あげ

キチガイスレ

　　　　　むしろ

　　　　　　　（ｎ！）＾２　　≧　　ｎ＾ｎ　　　　　を証明せよ


　　　という問題の方が難しいと思う。　　　この証明の難易度はかなり高い

訳分からん。
どうでもいい。

　　　（ｎ！）＾２　　≧　　ｎ＾ｎ


　　　　　この不等式の美しさが分からんとはかわいそうに

>>25
別に、この問題が解けなくても生きていけますから(^^)
給料が下がる訳じゃなし。

　　　　　この問題　　の美しさと　　この問題を証明するにあたって上の不等式が重要になることが理解できないとは

　　哀れな人生

理解した

簡単やな